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Matemáticas

Logarítmos Segunda Parte


 

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y de la multiplicación es la división, el cálculo de logaritmos es la operación inversa a la exponenciación de la base del logaritmo; es decir, que si en una exponenciación se obtiene un resultado, por ejemplo:

23 = 2 x 2 x 2 = 8

Donde 2 es un número, 3 es su exponente y 8 el resultado de la operación.

En un ejercicio de logaritmos se tiene ya el resultado de la exponenciación y lo que se quiere buscar es el exponente que se usaría en el número base para encontrar el mismo resultado, por ejemplo:

log2 8 = 3

Donde 8 es un número o argumento, 2 es su base y 3 el resultado de la operación o exponente.

Esta es la propiedad fundamental de los logaritmos.

Los logaritmos fueron introducidos por John Napier a principios del siglo XVII como un medio de simplificación de los cálculos. Estos fueron prontamente adoptados por científicos, ingenieros, banqueros y otros para realizar operaciones fácil y rápidamente, usando reglas de cálculo y tablas de logaritmos. Estos dispositivos se basan en el hecho más importante, por identidades logarítmicas, que el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores:

Logb (xy) = logb (x) + logb (y)

"Cuando un logaritmo no presenta un número base se sobreentiende que esta es 10"

PROPIEDADES GENERALES

Los logaritmos, independientemente de la base elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan.

Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:

IDENTIDAD FUNDAMENTAL DEL LOGARITMO

La relación entre logaritmos y potencias explican esta identidad fundamental

Sabemos que la expresión logarítmica:

1) logb N = x

Equivale a la ecuación exponencial:

2) bx = N

Remplazando 1 en 2:

blogb N = N

Ejemplos:

1) 5log5 20 = 8

2) 3log312 = 12

3) 6log6 18 = 18

LOGARITMO DE LA BASE

Cuando el logaritmo de un número o argumento es igual a la base su resultado siempre será 1.

Considerando que: logb b = x Entonces: bx = b

bx = b1

Entonces: x = 1

El logaritmo de la base del sistema es 1.

logb b = 1

Ejemplos:

1) log8 8 = 1

2) log102 102 = 1

3) log7 7 = 1

LOGARITMO DE LA UNIDAD

En un logaritmo la base nunca podrá ser 0 ya que estas siempre son números positivos; de igual forma, la base no podrá ser 1. Por consiguiente cuando se tiene un logaritmo de 1 el resultado siempre será igual a 0, sin importar la base que tenga.

Considerando que: logb 1 = x

Entonces: bx = 1

bx = b0

Entonces: x = 0

El logaritmo de la unidad es cero (en cualquier base).

logb 1 = 0

Ejemplos:

1) log15 1 = 0

2) log105 1 = 0

3) log9 1 = 0

LOGARITMO DE UN PRODUCTO

Si se tiene un logaritmo de cualquier base del producto de dos números se debe realizar la descomposición de cada número y sumarlos entre sí; es decir:

log5 25 * 10 = log5 25 + log5 10

Consideremos que: 1) logb x = m

2) logb y = n

Se busca: logb (x*y) = ?

Por definición de logaritmo:

Si logb x = m entonces bm = x

Si logb y = n entonces bn = y

Multiplicando:

bm * bn = x * y

bm + n = x * y

Entonces se tiene:

3) logb (x * y) = m + n

Remplazando 1 y 2 en 3:

logb (x * y) = logb x + logb y

El logaritmo de un producto, en base b, es igual a la suma de los logaritmos de los factores en la misma base.

 
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